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MATEMATICA
di
Andrea Bandieras

Lezione 1: Concetto di Aritmetica e Numeri

Iniziamo dal principio.

Insiemi Numerici

Prima dell' introduzione della matematica e del calcolo, migliaia di anni fa, non si usava fare una classificazione dei numeri.
La mancanza della necessità di contare in maniera complessa ha fatto si che per millenni l' insieme dei numeri naturali fosse l' unica espressione matematica usata per rappresentare la realtà.

In questo periodo non esisteva, ovviamente, nemmeno la concezione, ora basilare, di dividere il campo numerico in sottoinsiemi.

In seguito ad operazioni più complesse fu necessario ampliare il campo numerico e quindi creare delle distinzioni:

Brevemente gli insiemi sono:

Numeri Naturali

Si rappresentano con la lettera maiuscola N e sono:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... ∞

O con la definizione di insieme:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...} ∞

L' insieme dei numeri naturali è chiuso solo alle operazioni di addizione e quindi, di moltiplicazione.

(Nota: un insieme si dice chiuso ad un operazione quando i risultati di quell' operazione appartengono sempre a quell' insieme. L' operazione, in questo caso, di dice interna.)br>
Numeri Interi

Si rappresentano con la lettera maiuscola Z

All' insieme dei numeri Interi appartengono i numeri Naturali (quindi l' insieme N appartiene a Z) più la loro controparte "riflessa" al di la dello zero.

Per chiarire:

Se i numeri naturali (N) sono rappresentati su di una retta, i numeri interi (Z) vengono rappresentati con la retta N più la sua proiezione speculare oltre allo zero.

Vengono infatti anche chiamati relativi perchè il loro valore assoluto è relativo alla distanza dal punto zero.

L' insieme dei numeri Interi è chiuso alle operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione.

La divisione tra numeri interi è interna all' insieme Z solamente se "ci accontentiamo" di ottenere un resto.
Infatti, essendo il campo dei numeri interi un campo non continuo, capita che il risultato di un rapporto (divisione) cada tra due numeri interi e non sia rappresentabile all' interno dell' insieme Z
Per questo motivo è stato indispensabile ampliare ulteriormente l' insieme, per abbracciare anche gli spazi compresi tra i numeri interi.


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